İrrasyonel sayılar: ne olduğunu ve ne kullanılır?

irrasyonel sayı nedir? Neden denir? Nerede kullanılır ve hangi teşkil edilir? çekinmeden Birkaç kutu bu sorulara cevap vermek. tüm gerekli ve çok nadir durumlarda değil olsa Ama aslında, cevaplar, oldukça basittir

özü ve tanımı

İrrasyonel sayılar sonsuz olmayan periyodik olan ondalık sayılar. Bu kavramı tanıtmak gerek yeni ortaya çıkan sorunları ele almak amacıyla gerçek veya gerçek, bütün, doğal ve rasyonel sayılar yetersiz önceden varolan kavramlar olmuştur gerçeğinden kaynaklanmaktadır. Örneğin, kare bir değeri hesaplamak amacıyla, bir periyodik olmayan sonsuz sayıda ondalık kısmını kullanmak gereklidir, 2'dir. Buna ek olarak, birçok basit denklemler de irrasyonel sayıların kavramının tanıtılması olmadan hiçbir çözümümüz var.

açık hale geldiği için bu resim, bu değerler payı olan bir bütün olup, basit bir fraksiyon olarak temsil edilir ve payda olamaz, I olarak gösterilir ve - doğal bir sayı.

VII yüzyılda Hintli matematikçiler karşılaştığı bu olgu ile ilk kez ya da bu şekilde İçin M.Ö., bu cihazı keşfedildiği belli miktarlarda karekök açıkça tespit edilemez. Böyle sayıların varlığının ilk kanıtı ikizkenar dik üçgenin çalışmasında yaptı Pisagor Hippasus, yatırılmaktadır. Bu setin çalışmaya ciddi bir katkı İsa'dan önce yaşamış hatta bazı bilim adamları getirdi. irrasyonel sayılar kavramının tanıtılması onlar kadar önemli olmasının nedeni ise mevcut matematiksel sistemin revizyonu yol açtı.

adının kökeni

Latince oranı ise - "atış", "tutum", öneki "ir"
kelimesinin ters bağlanmış. Bu nedenle, bu sayılar kümesinin adı onlar, bir tamsayı ya da fraksiyonel ilişkilendirilebilir otur edilemez olduğunu gösterir. Bu onların doğadan izler.

genel klasmanda yerleştirin

Akılcı sayılar, rasyonel birlikte sırayla kompleksine ait gerçek veya sanal bir grup anlamına gelir. Alt-gruplar değil, ancak, cebirsel ve aşağıda tartışılacaktır aşkın tür ayırt.

özellikleri

irrasyonel sayılar Çünkü - gerçek bir dizi parçası, sonra onlara aritmetik incelenir tüm özelliklerini uygulamak (ayrıca temel cebirsel yasaları olarak adlandırılır).

a + b = b + a (Yerdeğiştirme);

(A + b) + c = a + (b + c) (birleşme);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (katkı maddesi ters varlığı);

ab = ba (değişmeli yasası);

(Ab) C (Distributivity) bir (BC) =;

bir (b + c) '= AB + AC (dağıtım hukuk);

ax 1 = a

ax 1 / a = 1 (varlığının ters sayısı);

Karşılaştırma aynı zamanda genel yasalar ve esaslara uygun olarak yapılır:

a> b ve b> C, o zaman a> c (geçişlilik oranı) ve varsa. t. ö.

Tabii ki, tüm irrasyonel sayılar temel aritmetik işlemleri kullanılarak dönüştürülebilir. Bu herhangi bir özel kurallar.

Buna ek olarak, irrasyonel sayılar Arşimet aksiyomuna ile kaplı. Bu bir ve b herhangi iki değer için yeterli sefer sayısı olarak bir terim alarak, b yenmek mümkündür, bu doğru olduğunu belirtmektedir.

kullanımı

gerçek hayatta sıklıkla onlarla uğraşmak zorunda değilsiniz rağmen, irrasyonel sayılar hesap vermezler. Onlar pek çok, ama onlar neredeyse görünmez. Biz irrasyonel sayılar ile çevrilidir. Herkese tanıdık örnekleri arasında - 3.1415926 ... ya da e eşit sayıda pi, esas itibarıyla sürekli olarak kullanmak zorunda cebir, trigonometri ve geometri doğal logaritma, 2.718281828 ... bir nokta. Bu arada, "altın" bölümünde iyi bilinen bir değer, ne kadar yüksek çok düşük ve tersi oranı, yani ve Bu sette ifade eder. Çok - Daha az "gümüş" tanınmış.

rasyonel bir dizi kapsamındaki herhangi iki miktarları arasındaki, irrasyonel mutlaka meydana böylece sayı çizgisi, onlar, çok yakındır.

Şimdiye kadar, bu sette ilgili çözülmemiş sorunların bir yeri vardır. Bu tür bir önlem ve akıldışılığı sayısının normalite olarak kriter vardır. Matematikçiler onların bir grup ya da başka mensup için en önemli örneklerini araştırmaya devam. Örneğin, bu e varsayılır - normal sayıda, yani farklı rakamlar onun kayıtta oluşma olasılığı aynıdır ... pi gelince, o zaman onun nispeten uzun soruşturma altında. Ayrıca, değer denilen Ölçü mantıksızlık belirli sayıda rasyonel sayılarla ilgili tahminde bulunulabilir ne kadar iyi olduğunu gösterir.

Cebirsel ve transandantal

Daha önce bahsedildiği gibi, irrasyonel sayılar şartlı cebirsel ve aşkın ayrılmıştır. açık konuşmak gerekirse, çünkü Geleneksel olarak, sınıflandırma sayıda C bölmek için kullanılır

Böyle bir organizasyon altında fiili veya gerçek dahil kompleks sayılar, gizler.

Yani cebirsel polinomun kökü aynı sıfır değildir bir değer olarak adlandırılan. 2 = 0 - bu denklemin x ² bir çözümdür çünkü Örneğin, 2 karekök, bu kategoriye girer olacaktır.

Bu durumu yerine getirmeyen tüm diğer gerçek numaraları aşkın denir. Bu tür ve en iyi bilinen ve daha önce sözü edilen örnekleridir - sayı pi ve doğal logaritma baz örn.

İlginçtir, ne biri ne de ikinci aslen gibi matematikçiler tarafından yetiştirilen, onların mantıksızlığı ve aşkınlık kendi keşfinden sonra uzun yıllar boyunca kanıtlanmıştır. pi Kanıt olarak 1882 yılında sağlandı ve 2500 yıl sürdü daire, kare alma sorunu hakkında tartışmalara bir son vermek 1894, basitleştirilmiş. Hala tamamen modern matematikçiler yapacak işi var ki, anlaşılmış değildir. Bu arada, bu değerin ilk makul doğru hesaplama Arşimed vardı. Ondan önce, tüm hesaplamaları çok yaklaşık idi.

e (Euler numarası veya Napier) için, onun aşkınlık kanıtı 1873 yılında bulunmuştur. Bu logaritmik denklemlerin çözümünde kullanılmaktadır.

Diğer örnekler arasında - bir sıfır olmayan cebirsel değerleri için sinüs değerlerinin, kosinüs ve teğet.