Düzenli polimerler: elemanlar, simetri ve alan

Cebirden farklı olarak, cebirden farklı olarak, ne ve niçin düşündüğünüzün her zaman açık olmadığı yerde geometri güzel, nesne görünürlüğü verir. Farklı cesetlerin bu şaşırtıcı dünyası düzenli çokyüzlü ile süslenmiştir.

Düzenli polimerler hakkında genel bilgi

Pek çok kişiye göre, düzenli çokyüzenli veya Platonik cisimler olarak adlandırıldığı gibi, benzersiz özelliklere sahiptir. Bu nesnelerle ilgili birçok bilimsel hipotez bulunmaktadır. Bu geometrik cisimleri incelemeye başladığınızda, normal çokyüzlü gibi böyle bir kavram hakkında neredeyse hiçbir şey bilmediğinizi anlarsınız. Bu cisimlerin okulda sergilenmesi her zaman ilginç değildir, bu yüzden çok kişi çağrıldıklarını hatırlamıyor. Çoğu insanın anısına yalnızca küp kalır. Geometride bulunan cisimlerin hiçbiri, düzenli çokyüzlü gibi mükemmelliğe sahip değildir. Bu geometrik cisimlerin tüm isimleri Eski Yunan'dan gelmişti. Dört yüzlü - dört yüzlü, altı yüzlü - altı yüzlü, altı yüzlü - oktahedral, oniki yüzlü - oniki yüzlü, iki yüzlü - yirmi yüzlü yüzler demek. Tüm bu geometrik cisimler, Platon'un evren anlayışında en önemli yeri işgal etti. Dört tanesi öğeleri veya esansları temsil ediyordu: tetrahedron - ateş, icosahedron - su, küp - toprak, octahedron - hava. On dedikhedron varolan her şeyi somutlaştırdı. Ana olarak kabul edildi, çünkü evrenin bir sembolüydü.

Bir çokyüzlü kavramının genelleştirilmesi

Bir çok katlı, sonlu sayıda poligonlardan oluşan bir koleksiyondur:

• Poligonlardan herhangi birinin her iki tarafı aynı anda aynı taraf boyunca yalnızca bir poligonun yan tarafıdır;
• Çokgenlerin her birinden, bitişik çokgenleri geçerek diğerlerine gidebilirsiniz.

Çok katlıyı oluşturan poligonlar yüzleridir ve kenarları kenarlarıdır. Çokgenlerin köşeleri çokgenlerin köşeleridir. Eğer bir poligon kavramı düz kapalı poligonal çizgiler olarak anlaşılırsa, o zaman bir poligonun aynı tanımına gelir. Bu terimin kesik çizgilerle sınırlanmış olan düzlemin bir parçası olduğu durumda, çokgen parçalardan oluşan bir yüzeyi anlamak gerekir. Dışbükey bir çok yüzlü, uçağın yüzüne bitişik bir yanına uzanan bir cisimdir.

Bir çokyüzlünün ve elemanlarının bir diğer tanımı

Bir çok katlı, geometrik bir cismi sınırlayan poligonlardan oluşan bir yüzeydir. Bunlar:

• Dışbükey olmayan;
• Dışbükeylik (doğru ve yanlış).

Normal çokyüzlü, maksimum simetriye sahip dışbükey bir çokyüzlüdür. Düzenli çokyüzlü elemanlar:

• Tetrahedron: 6 kenar, 4 yüz, 5 köşe;
• Altıgen (küp): 12, 6, 8;
• Oniki yüzlü: 30, 12, 20;
• Octahedron: 12, 8, 6;
• Icosahedron: 30, 20, 12.

Euler teoremi

Topolojik olarak bir küreye eşdeğer kenarlar, köşeler ve yüz sayısı arasında bir bağlantı kurar. Farklı normal çokyüzlü için köşe sayıları ve yüz sayılarını (B + D) ekleyip bunları kenar sayısı ile karşılaştırarak bir düzenlilik kurabiliriz: yüzlerin ve köşelerin toplamı 2 ile artan kenarların sayısına (P) eşittir. Basit bir formül elde edebilirsiniz:

• B + F = P + 2.

Bu formül tüm dışbükey çokyüzlü için geçerlidir.

Temel Tanımlar

Düzenli çokyüzlü bir kavram, bir cümle ile açıklanamaz. Çokseslemci ve hacimli. Bir cismin bu şekilde tanınması için, birtakım tanımlara uyması gerekir. Böylece, aşağıdaki koşullar yerine getirildiğinde, geometrik bir gövde düzenli bir çokyüzlü olur:

• Dışbükey;
• Aynı kenar sayısı köşelerinin her birinde birleşir;
• Tüm yüzleri birbirine eşit düzenli poligonlardır;
• Tüm dihedral açıları eşittir.

Düz polimere ait özellikleri

Normal çokyüzlü beş farklı tür vardır:

1. Küp (altı yüzlü) - 90 derecelik bir tepe noktasında düz bir açı vardır. Üç yüzlü bir açısı vardır. Üstteki düzlemsel açıların toplamı 270 ° 'dir.
2. Tetrahedron, tepe noktasında 60 ° 'lik düz bir açıdır. Üç yüzlü bir açısı vardır. Enlemdeki düzlemsel açıların toplamı 180 ° 'dir.
3. Oktahedron, apekste 60 ° 'lik düz bir açıdır. 4 köşe açısı vardır. Üstteki düz açıların toplamı 240 ° 'dir.
4. Duedethedron, 108 derecelik bir tepe noktasında düz bir açıdır. Üç yüzlü bir açısı vardır. Üstteki düzlemsel açıların toplamı 324 ° 'dir.
5. Icosahedron - üstte düz bir açı vardır - 60 °. Beş yüzlü bir açısı vardır. Enlemdeki düzlemsel açıların toplamı 300 ° 'dir.

Düzenli çokyüzlü alan

Bu geometrik cisimlerin (S) yüzey alanı, düzenli çokgenlerin yüzleri ile çarpılan yüzölçümü (G) olarak hesaplanır:

• S = (a: 2) x 2G ctg π / p.

Düzenli çokyüzlünün hacmi

Bu değer, tabanda normal çokgendir olan normal piramidin hacmini yüz sayısı ile çarpılarak hesaplanır ve yüksekliği yazıt küresinin yarıçapıdır (r):

• V = 1: 3rS.

Düzenli polimerler hacimleri

Diğer geometrik vücutlarda olduğu gibi, düzenli çokyüzenlerin hacimleri de farklıdır. Aşağıda, hesaplanabilecekleri formüller verilmiştir:

• Tetrahedron: α х 3√2: 12;
• Oktahedron: α х 3√2: 3;
• ikosahedron; Α х 3;
• Altıgen (küp): 5 x α х 3 x (3 + √5): 12;
• Dodekadhedron: α х 3 (15 + 7√5): 4.

Düzenli çokyüzlü elemanlar

Altı yüzlü ve sekizyüzlü, çift geometrik cisimlerdir. Başka bir deyişle, birinin yüzünün ağırlık merkezinin diğerinin tepesi olarak alınıp alınamaması durumunda birbirlerinden elde edilebilirler ve tersi de. Ayrıca, icosahedron ve dodecahedron çift vardır. Yalnızca bir tetrahedron kendi başına ikili. Öklid metodu ile küpün yüzeylerine "çatılar" inşa ederek bir on altı yüzlü bir ondadesik elde edebilir. Tetrahedronun köşeleri kenar boyunca ikili olarak bitişik olmayan küpün herhangi bir 4 köşesidir. Altı yüzlü (küp) diğer düzenli çokyüzlü elde edebilirsiniz. Düzenli poligonların düzenli çokyüzgar sayısının sonsuz olmasına rağmen, sadece 5 tane var.

Düzenli poligonların radii

Bu geometrik cisimlerin her biri ile birlikte 3 eşmerkezli küre bağlanır:

• Tanımlan, köşelerinden geçer;
• Oyunun ortasında yüzlerinin her birine dokunarak yazılmıştır;
• Orta, ortadaki tüm kaburgalara dokundu.

Açıklanan kürenin yarıçapı aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

• R = a: 2 x tg π / g x tg θ: 2.

Yazıtın küresinin yarıçapı aşağıdaki formüle göre hesaplanır:

• R = a: 2 × ctg π / p × tg θ: 2,

Burada, θ bitişik yüzler arasındaki iki taraflı açıdır.

Medyan kürenin yarıçapı aşağıdaki formüle göre hesaplanabilir:

• Ρ = a cos π / p: 2 sin π / h,

Burada h 4.6, 6.10 veya 10'dur. Açıklanan ve yazılmış yarıçapların oranı p ve q'ya göre simetriktir. Formül ile hesaplanır:

• R / r = tg π / p × tg π / q.

Çokyüzlü diyagramın simetri

Düzenli polimerlerinin simetri, bu geometrik cisimlere olan ilgiyi arttırır. Aynı sayıda verteks, yüz ve kenar bırakan uzaydaki bir cismin hareketi olarak anlaşılır. Başka bir deyişle, simetri dönüşümünün etkisi altında, kenar, köşe veya yüz orijinal konumunu korur veya başka bir kenarın, başka bir köşenin veya yüzün orijinal konumuna taşınır.

Normal çokyüzlü diyagramın simetri unsurları, her tür geometrik cisimden kaynaklanmaktadır. Burada, herhangi bir noktayı orijinal haliyle bırakan kimlik dönüşümü hakkında konuşuyoruz. Böylece, bir çokgen prizma döndürürken, birkaç simetri elde edilebilir. Bunlardan herhangi biri yansımaların bir ürünü olarak temsil edilebilir. Çift sayılı yansımanın ürünü olan simetriye bir çizgi denir. Eğer tek sayıda yansımanın ürünü ise, buna tersi denir. Böylece, düz bir çizginin etrafındaki tüm dönmeler doğrudan simetriyi temsil eder. Çok katlı efektin herhangi bir yansıması ters simetri.

Normal çokyüzlü diyagramın simetri unsurlarını daha iyi anlamak için, bir tetrahedron örneğini alabiliriz. Bu geometrik şeklin köşelerinden ve merkezlerinden geçen herhangi bir düz çizgi karşısındaki yüzün merkezini geçecektir. Çizginin etrafında 120 ve 240 ° 'deki bükümlerin her biri tetrahedronun simetrilerinin çoğul sayısına aittir. 4 köşe ve yüzü olduğu için sadece sekiz simetri vardır. Kaburganın ortasından geçen düz hatlardan herhangi biri ve bu gövdenin merkezi, karşı kenarının ortasından geçer. Hat etrafında yarım tur olarak adlandırılan 180 ° 'lik bir dönüş simetrisidir. Bir tetrahedron üç çift kenarlığa sahip olduğundan, üç tane daha doğrudan simetri vardır. Yukarıdakilerden hareketle, özdeş dönüşüm dahil toplam doğrudan simetri sayısının on ikiye ulaşacağı sonucuna varılabilir. Tetrahedron için başka doğrudan simetri yoktur, ancak 12 ters simetri vardır. Sonuç olarak, tetrahedron sadece 24 simetri ile karakterizedir. Netlik için, mukavvadan düzenli bir tetrahedron modeli oluşturabilir ve bu geometrik cismin gerçekten sadece 24 simetriye sahip olduğundan emin olabilirsiniz.

Oniki yüzlü ve iki yüzlü insan, küreye en yakın cisimlerdir. İkonografi, yüzlerin en büyük sayısına, en büyük dihedral açıya ve iç içe geçmiş küreye en yakın şekle sahiptir. Dodekadhedron, en küçük açısal kusura, tepe noktasındaki en büyük katı açısına sahiptir. Açıklanan alanını olabildiğince doldurabilir.

Çokyüzeli dağıtmak

Çocukluk çağında hep birlikte yapıştırılan süpürgenin doğru çok yönlü yüzü birçok kavrama sahiptir. Poligonların her biri çok yüzlü bir kenarı ile tanımlanan bir poligon kümesi varsa, kenarların tanımlanması iki koşula tekabül etmelidir:

• Her çokgenten, tanımlanan tarafı olan çokgenler arasından geçmek mümkündür;
• Tanımlanan tarafların aynı uzunluğa sahip olması gerekir.

Bir polihedronun açılımı adı verilen bu koşulları yerine getiren poligonların koleksiyonudur. Bu cesetlerin her birinin birçoğu var. Örneğin, küpün 11 parçası var.