Konveks çokgen. konveks çokgen tanımı. konveks çokgen köşegenlerinin

Bu geometrik şekiller hepimizin etrafında bulunmaktadır. Konveks çokgen böyle bir bal peteği veya yapay (üretilmiş adam) gibi doğal. Bu rakamlar, sanat, mimari, süs eşyaları, vs. kaplamaların farklı üretiminde kullanılan maddelere Konveks çokgenler noktaları geometrik şekil bitişik köşe çiftinin içinden geçen bir düz çizgi halinde bir tarafta bulunabilir özelliği vardır. Diğer tanımlar vardır. Bu yanlarından birini içeren herhangi bir düz çizgi ile ilgili olarak tek bir yarı-düzlem içinde düzenlenmiştir konveks çokgen olarak adlandırılan.

konveks çokgen

temel geometri esnasında daima son derece basit çokgenler davranılır. özelliklerini anlamak için geometrik şekiller onların doğasını anlamak gerekir. Kapalı, uçları aynıdır herhangi bir satır olduğunu anlamaya başlamak için. Ve onun tarafından oluşturulan Şekil, çeşitli konfigürasyonlarda olabilir. Poligon, bitişik birimler aynı doğru üzerinde yer değildir basit kapalı çoklu çizgi olarak adlandırılır. Onun bağlantılar ve düğümler, sırasıyla, yan ve geometrik şeklin üstleri vardır. Basit bir çoklu çizgi kendisini kesişen olmamalıdır.

çokgenin tepe durumunda bunlar yan taraflarından birinde uçları vardır, komşuları denir. köşelerin bir n'inci sayıda bir geometrik şekil, ve tarafların dolayısıyla n'inci sayısı n-gon adlandırılan. Kendisi burada kesik çizgi bir geometrik şeklin sınır veya konturu. Poligon düzlem veya düz çokgen, sınırlı bir düzlem son bölümü olarak adlandırılır. geometrik şeklin bitişik kenarları aynı tepe gelen çizgili bir segment denir. onlar çokgenin farklı köşeler dayanmaktadır Onlar komşuları olmayacaktır.

Konveks çokgen Diğer tanımlamalar

temel geometri olarak, dışbükey çokgen olarak adlandırılan gösteren anlamı tanımlarında birçok eşdeğeri bulunmaktadır. Üstelik bütün bu ifadeler aynı derecede doğrudur. Dışbükey çokgen sahip biridir:

• içindeki herhangi iki nokta bağlanan her parça, içinde tamamen yer almaktadır

• burada tüm diyagonalleri yalan;

• Herhangi bir iç açı olup 180 ° 'den daha büyüktür.

Poligon hep ikiye uçağı böler. Bunlardan biri - (bir daire içine alınmış olabilir) sınırlı değildir ve diğer - sınırsız. Birinci iç bölgesi olarak adlandırılır ve ikinci bir - geometrik şeklin dış alanı. birkaç yarı-düzlemleri - Bu (toplam bileşeni, diğer bir deyişle) çokgen kesişmesidir. Bu nedenle, bir poligon ait noktalarda uçlara sahip her segment tamamen ona ait.

Konveks çokgen çeşitleri

Tanım dışbükey çokgen çoğu türü vardır anlamına gelmez. Ve bunların her biri belirli kriterleri vardır. Bu durumda, 180 ° 'lik bir iç açıya sahip konveks çokgen şeklinde, biraz dışbükey anılacaktır. .. K eşit olması veya üçgenler daha büyük 3. Her dışbükeydir: vb beşgen, dışbükey, n-genler her biri, aşağıdaki önemli gereksinimleri karşılayan - dört kenarlı, beş - üç zirveleri dışbükey geometrik şekil, bir üçgen, dört adlandırılır. bütün çıkıntılar bir daire üzerinde yer aldığı bu tür geometrik şekil, teğet çemberi olarak adlandırılan. bir dairenin etrafında bütün tarafları ona dokunmak eğer Açıklandığı dışbükey çokgen denir. bindirme kombine edilebilir kullanırken iki çokgenler, yalnızca durumda eşit olarak adlandırılır. çokgen düzlemi (düzlem kısmı) olarak adlandırılan bu sınırlı geometrik şekil, bu düz poligon.

Düzenli dışbükey çokgenler

Düzgün çokgenler eşit açılarla ve iki geometrik şekiller olarak adlandırılan. bunların içinde kendi köşelerin her biri aynı mesafede olan bir nokta 0 vardır. Bu geometrik şeklin merkez denir. geometrik şeklin köşeler ile merkezini bağlayan hatlar apothem denilen ve partilerle noktası 0 bağlamak olanlar - yarıçapları.

Doğru dikdörtgen - kare. Eşkenar üçgen eşkenar denir. Bu tür şekiller için aşağıdaki kural vardır: her biri konveks çokgen açısı 180 ° * (n-2) / N,

burada, n, - konveks geometrik şeklin köşe sayısı.

düzenli bir çokgen alanı, aşağıdaki formül ile belirlenir:

S, s * h =

burada p çokgenin her iki yarısı eşittir, ve h uzunluğu apothem olup.

Özellikleri dışbükey çokgen

Konveks çokgen bazı özelliklere sahiptirler. Bu nedenle, parça mutlaka içinde bulunan bir geometrik şekil, herhangi iki nokta bağlanması gerekir. kanıt:

dışbükey çokgen - O, P varsayalım. Bu noktalar R. Sonuç olarak, AB da bu özelliğe sahiptir ve her zaman R bir konveks çokgen içerdiği herhangi bir yöne içeren düz hattın bir tarafında yer alan bir konveks çokgen bu günkü tanımıyla P. ait olan iki rasgele sayı, örneğin, A ve B, alın kendi noktaların birini düzenlenen çeşitli üçgenler kesinlikle bütün çaprazlar, bölünebilir.

dışbükey geometrik şekiller Açıları

Bir dışbükey çokgenin açıları - taraflarca oluşturulan açılardır. İçinde köşeleri geometrik şeklin iç alanında bulunmaktadır. bir tepe yakınsama yanlarından oluşan açı, dışbükey çokgen açısını adı. bitişik köşe geometrik şekil iç köşelerine, harici olarak adlandırılan. bunun içine yerleştirilmiş bir konveks çokgen, her köşesinde,:

180 ° - X

burada x - köşe dışında değer. Bu basit formül bu tür geometrik şekillerin her türlü uygulanabilir.

180 ° arasındaki fark ve iç açısı değerine eşit her bir konveks çokgen açısı: Genel olarak, dış köşeler için kural uyarınca bulunmaktadır. Bu -180 ° ila 180 ° arasında değişen değerlere sahip olabilir. iç açı 120 ° dir Neticede, görünüm 60 ° 'lik bir değere sahip olacaktır.

Konveks çokgen açıların toplamı

konveks çokgen iç açıları toplamı, aşağıdaki formül ile belirlenir:

180 ° * (n-2),

burada, n, - n-gon köşe sayısı.

konveks çokgen açılarının toplamı oldukça basit hesaplanır. herhangi bir geometrik şekle düşünün. dışbükey çokgen açıların toplamı belirlemek için diğer köşe olan köşe bir bağlamak gerekir. Bu hareketin bir sonucu üçgenin (n-2) döndükçe. Herhangi bir üçgen açılarının toplamı her zaman 180 ° olduğu bilinmektedir. herhangi bir çokgen bunların sayısı (n-2) eşit olduğu için, Şekil iç açıları toplamı 180 ° x (n-2) eşittir.

Konveks çokgen köşeleri Miktar, yani, bu konveks geometrik şekil kendilerine herhangi iki komşu iç ve dış açıları, her 180 ° 'ye eşit olacaktır. Buna dayanarak, hepimiz köşelerinden toplamını belirleyebilirsiniz:

180 x n.

İç açıların toplamı 180 ° * (n-2). Bu duruma göre, aşağıdaki formül ile belirlenen şekil tüm dış köşeleri toplamı:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 ° 'dir.

herhangi bir konveks çokgen dış açılarının toplamı her zaman (ne olursa olsun iki sayısı) 360 ° 'ye eşit olacaktır.

Dışbükey çokgenin dış köşesi, genellikle 180 ° ve iç açının değeri arasındaki fark ile temsil edilmektedir.

konveks çokgen diğer özellikleri

geometrik şekiller veri temel özelliklerinin yanı sıra, aynı zamanda, diğer sahip bunları tutarken cereyan etmesidir. Bu nedenle, çokgen bir çoklu iç bükey n-genler bölünebilir. Bunu yapmak için, her kenarı devam edecek ve bu düz hatlar boyunca geometrik şekil kesti. Birkaç dışbükey bölüme herhangi çokgen Bölünmüş mevcuttur ve böylece parçaların her birinin üst kendi noktaların hepsi ile örtüşmektedir. geometrik şekilden bir tepe tüm köşegenleri boyunca üçgenleri yapmak çok basit olabilir. Böylece, herhangi bir çokgen, sonuçta, örneğin geometrik şekiller ile ilgili çeşitli görevleri çözme yararlıdır üçgenler belirli bir sayıda, ayrılabilir.

Konveks çokgen çevresi

ab, bc, cd, de, ea: Çoklu çizginin segmentleri, çokgen denilen partiler, genellikle aşağıdaki harflerle belirtti. köşe a, b, c, d, e sahip bir geometrik şeklin bu tarafı. Dışbükey çokgenin kenarlarının uzunlukları toplamı, çevre kenarını olarak adlandırılır.

çokgenin çevresi

Konveks çokgenler girdi ve tarif edilebilir. geometrik şeklin her iki tarafına Çember teğet, içine yazılı çağırdı. Bu çokgen tarif adlandırılır. çokgen içinde yazılı olduğu merkezi daire, belirli bir geometrik şekil dahilinde açılarının bisectors kesişme noktasıdır. çokgen alanı eşittir:

S, s, u,

burada r - çemberin yarıçapı ve p -, bu çokgen semiperimeter.

Çokgen köşe ihtiva eden bir daire, yanına tarif denilen. Bundan başka, bu konveks geometrik şekil yazılı olarak adlandırılan. Bu tür bir poligonunu açıklanan daire merkezi, bir sözde kesişme noktası bütün tarafları midperpendiculars olup.

Çapraz dışbükey geometrik şekiller

köşeleri komşu olmayan bağlar bir segmente - Bir dışbükey çokgenin köşegenlerinin. Her biri bu geometrik şeklin içinde. köşegenlerinin sayısı n-gon formüle göre ayarlanır:

N = N, (n - 3) / 2.

konveks çokgen köşegenlerinin sayısı temel geometri önemli bir rol oynar. aşağıdaki formül ile hesaplanan her dışbükey çokgen kırılabilir üçgen sayısı (K),:

K = n - 2.

Bir dışbükey çokgenin köşegenlerinin sayısı her zaman nokta sayısı bağlıdır.

konveks çokgen Bölme

Bazı durumlarda, kesişmeyen köşegenleri ile birkaç üçgenler bir konveks çokgen kırmak için gerekli olan geometri görevleri çözmek için. Bu sorun, belli bir formül kaldırarak çözülebilir.

sorunun belirlenmesi: sadece geometrik şeklin köşe noktalarında diagonallerle birkaç üçgenler içine dışbükey n-gon bölünmesi doğru tür diyoruz.

Çözüm: Kabul edelim ki, P1, P2, P3, ..., Pn - n-gon üst. Numara Xn - onun bölümleri sayısı. Dikkatle çıkan diyagonal geometrik şekil Pi Pn düşünün. Normal bölümleri herhangi birinde P1 Pn 1

i = 2, her zaman çapraz P2 Pn içeren normal bölümleri bir grubu olduğu olsun. bölmeler (n-1) açılı P2 P3, P4 ... Pn sayısına eşit buna dahildir bölmelerin sayısı. Diğer bir deyişle, bu Xn-1'e eşittir.

i = 3, daha sonra diğer grup bölümleri her zaman diyagonal P3 P1 ve P3 Pn içerecektir edin. grubunda bulunan Doğru bölümleri sayısının bölümlerin sayısı (n-2) köşeli P3, P4 ... Pn ile aynı zamana denk gelecek. Diğer bir deyişle, bu Xn-2 olacaktır.

i = 4, daha sonra, doğru bölüm arasında üçgenler dörtgen P1 P2 P3, P4, (n-3) köşeli P5, P4 ... Pn yan yana bir üçgen P1 Pn P4 ihtiva bağlı olsun. Bu tür bir dört kenarlı X4 eşit doğru bölüm sayısı ve bölüm sayısı (n-3) köşeli Xn-3 eşittir. Yukarıdakilere dayanarak, bu grupta bulunan normal bölmelerin sayısı Xn-3 X4 eşit olduğunu söyleyebiliriz. Diğer gruplar, burada i = 4, 5, 6, 7, ... 4 Xn-X5 içerecektir, Xn-5 X6, Xn-6 ... X7 normal bölümleri.

i = n-2, belli bir grup içinde doğru bölüm sayısı, i = 2 (başka bir deyişle, Xn-1'e eşit), burada gruptaki bölümlerin sayısı, denk edelim.

X1 = X2, X3 = 1 ve X4 = 2, ..., dışbükey çokgen bölüm sayısı 0 = Süresi:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-X4 + X5 + 4 ... + X + 4 5 Xn-Xn-X4 + 2 + 3 Xn-Xn-1.

örnek:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X4 + X5 + X4 + X5 = 14

X7 + X5 = X6 + X4 * x4 + X5 + X6 = 42

X7 = X8 + X6 + X4 * x5 + X4 * x5 + X6 + X7 = 132

diyagonal birinin içinde kesişen doğru bölümlerin sayısı

tek tek durumlarda kontrol, konveks n-gon köşegenlerinin sayısı, bu grafik desen (n-3) tüm bölümler çarpımına eşit olduğu varsayılabilir.

Bu varsayımın kanıt: P1n = Xn * (n-3), daha sonra herhangi bir n-gon (n-2) üçgen bölünebilir varsayalım. Bu durumda, bunların bir istiflenebilir (n-3) -chetyrehugolnik. Aynı zamanda, her dörtgen köşegen olduğunu. Bu konveks geometrik şekil yana iki çapraz anlamına gelir gerçekleştirilebilir ki herhangi bir (n-3) ek yürütebilir -chetyrehugolnikah diyagonal (n-3). Buna dayanarak, herhangi bir uygun bölümü de (n-3) -diagonali toplantının bu görevin gereklilikleri için bir fırsat olduğunu söyleyebiliriz.

Alan dışbükey çokgen

Çoğu zaman, temel geometrisi çeşitli sorunların çözümünde dışbükey çokgen bölgeyi belirlemek için bir ihtiyaç vardır. ki (Xi. Yi) varsayalım, i = 1,2,3 ..., n, kendiliğinden kesişimleri olan, çokgenin her komşu köşe koordinatlarının bir diziyi temsil eder. Bu durumda, kendi alanında, aşağıdaki formül ile hesaplanır:

_{S = ½ (Σ (Xi} + X + ı ₁₎ (Y _{'Y i} + _{1) +),}

burada _{(X1, Y1) = (Xn + 1, Y,} n + _1).