Pisagor teoremini ispatlamanın farklı yolları: örnekler, açıklama ve geribildirim

Birinde hipotenüsün karesinin eşit olduğuna dair herhangi bir sorunun yüzde yüz emin olabilirsiniz, herhangi bir yetişkin kişi cesurca cevap vereceğim: "Bacakların karelerinin toplamı". Bu teori her eğitimli kişinin zihnine sıkı sıkıya bağlıdır, ancak birinden bunu kanıtlamasını istemek yeterlidir ve burada zorluklar olabilir. Bu nedenle, Pisagor teoremini ispatlamanın farklı yollarını hatırlayalım ve düşünelim.

Biyografiye kısa bir bakış

Pisagorların teoremi neredeyse herkese tanıdık gelmekle birlikte, nedense onu üreten kişinin biyografisi o kadar popüler değildir. Bu düzeltilebilir. Bu nedenle, Pisagoras teorisini ispatlamanın farklı yollarını araştırmadan önce, kişiliğini kısaca bilmelisin.

Pisagor aslen Antik Yunan'dan gelen bir filozof, matematikçi ve düşünür. Bugün, biyografisini bu büyük adamın anısına gelişmiş efsanelerden ayırmak çok zor. Fakat takipçilerinin yazılarından da anlaşılacağı üzere Samos Pisagorası Samos adasında doğdu. Babası ortak bir taş kesiciydı, ancak annesi soylu bir aileden geldi.

Efsaneye bakarsak, Pythagoras'ın doğuşu, Pythia adlı bir kadın tarafından öngörülmüştü; onuruna oğlan çağırmışlardı. Tahminine göre, doğmuş bir çocuk birçok yararı ve insana iyilik getirmek zorunda kaldı. Aslında bunu yaptı.

Teoremin doğuşu

Gençliğinde Pisagoras , Samos adasından Mısır'a doğru ünlü Mısır bilgeleri ile buluşmak üzere taşındı. Onlarla bir görüşme yaptıktan sonra, Mısır felsefesinin, matematik ve tıbbın tüm büyük başarılarını öğrendiği eğitim gördü.

Muhtemelen Mısır'da Pisagorların piramitlerin ihtişamı ve güzelliklerinden ilham aldığı ve onun büyük teorisini yarattığı şey buydu. Bu okuyucuları şok edebilir, ancak modern tarihçiler Pisagorların teorisini kanıtlamadığına inanmaktadırlar. Ve sadece bilgilerini daha sonradan gerekli tüm matematiksel hesaplamaları tamamlayan takipçilere aktardı.

Her neyse, bugün bu teoremin bilinen bir kanıt metodu değil, birkaçı vardır. Bugün yalnızca eski Yunanlıların hesaplamalarını yaptıklarını tahmin edebiliyoruz, burada burada Pisagor teoremini ispatlamanın farklı yollarını düşünüyoruz.

Pisagor teoremi

Herhangi bir hesaplamaya başlamadan önce hangi teorinin kanıtlanacağını bulmanız gerekir. Pisagorların teoremi şöyle diyor: "Açılardan biri 90 ^° olan üçgende, bacaklardaki karelerin toplamı hipotenürün karesine eşittir."

Toplamda, Pisagor teoremini ispatlamak için 15 farklı yol vardır. Bu oldukça büyük bir rakam, bu yüzden en popülerlerinden birine dikkat edelim.

Yöntem bir

Öncelikle bize verilecekleri belirtelim. Bu veriler, Pisagor teoreminin diğer kanıtlama yöntemlerine genişletilecek, bu nedenle mevcut tüm gösterimleri hatırlamaya değer.

Dikdörtgen bir üçgen verildiğini, a, b bacakları ve hipotenüsün c'ye eşit olduğunu varsayalım. İlk ispat metodu, sağ üçgenden bir dikdörtgen çizmek için bir kare gerekli olduğu gerçeğine dayanır.

Bunu yapmak için, bir bacağı bir bacağı uzunluğa eşit bir kesit çizmek gerekir ve tam tersi. Bu, kare iki eşit taraflarla sonuçlanmalıdır. Sadece iki paralel çizgi çizmek için kalır ve meydan hazırdır.

Elde edilen rakamın içinde, orijinal üçgenin hipotenüsüne eşit olan bir kare daha çizmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için, a ve c köşelerinden eşit c iki paralel kesit çizmeliyiz. Böylece, meydanın üç yüzü çıkıyor, biri orijinal dikdörtgen üçgenin hipotenüsü. Sadece dördüncü kesimi sübvanse etmek için kalır.

Ortaya çıkan rakam temelinde, dış kare alanının (a + b) ² olduğu sonucuna varabiliriz. Şeklin içine bakarsanız, iç kareye ek olarak içinde dört dikdörtgen üçgen bulunduğunu görebilirsiniz. Her birinin alanı 0.5aV'dir.

Bu nedenle alan: 4 * 0.5a + + ² = ² + + ²

Dolayısıyla (a + b) ² = 2aB + c ²

Ve sonuçta ² = ^2'de + ^2'de

Teorem kanıtlandı.

İkinci yöntem: benzer üçgenler

Pisagoras teorisinin kanıtı için bu formül, benzer üçgenler üzerinde bir geometri bölümünden bir iddiaya dayanarak türetilmiştir. Doğru üçgenin kateteri hipotenüs için ortalama orantılı ve 90 ^° açısının tepesinden kaynaklanan bir hipotenüs segmentidir.

Başlangıç verileri aynı kalıyor, bu yüzden provayla hemen başlayacağız. CD'nin kesimini AB yanına dikeyiz. Yukarıdaki açıklamaya dayanarak, üçgen ayaklar şunlardır:

AC = √AB * AD, CB = √AB * DV.

Pisagor teoreminin nasıl kanıtlanacağı sorusuna cevap bulmak için, kanıt her iki eşitsizliği de karekökeye koymakla yükümlüdür.

AC ² = AB * AD ve CB ² = AB * DV

Şimdi ortaya çıkan eşitsizlikleri eklemeliyiz.

AC ² + CB ² = AB * (AD * DV), burada AD + DB = AB

Anlaşıldı ki:

AC ² + CB ² = AB * AB

Ve sonuçta:

AC2 + CB2 = AB2

Pisagor teoreminin kanıtı ve onu çözmenin çeşitli yolları, bu soruna çok yönlü bir yaklaşım gerektirir. Ancak, bu seçenek en basitlerinden biridir.

Başka bir hesaplama yöntemi

Pisagor teoremini ispatlamanın farklı yöntemlerinin açıklaması, tek başına pratik yapmaya başlamadıkça, herhangi bir şey hakkında söylenemez. Birçok yöntem yalnızca matematiksel hesaplamaları değil aynı zamanda orijinal üçgenden yeni figürlerin oluşturulmasını sağlar.

Bu durumda, VSD'nin dikdörtgen bir üçgenini BC'den tamamlamak gerekir. Böylece, şimdi ortak bir bacaklı iki üçgen var.

Benzer şekil alanlarının, benzer doğrusal boyutların kareleri olarak bir oranına sahip olduğunu bilmek:

S _avs * ² - S _avd * ile ² = S _avd * a ² - S _ave * a ²

S _avc * ( _c2-c2 ) = _a2 * ( _Sgp- S _vsd )

^{2 ile} -a2 = ^a2

² = ^2'de + ^2'de

8. sınıf Pisagor teoreminin farklı kanıtlama yöntemlerinden bu varyant pek uygun değildir, aşağıdaki prosedürü kullanabilirsiniz.

Pisagorların teoremini kanıtlamanın en basit yolu. yorumlar

Tarihçiler inanıldığına göre, bu yöntem eski Yunanistan'da bile teoremi ispatlamak için kullanılmıştır. Kesin hesaplamaları gerektirmediğinden en basitidir. Çizim doğru çizilirse, ² + ² = c ² açıkça görüleceği ifadesinin kanıtı.

Bu yöntemin koşulları bir önceki durumdan biraz farklı olacaktır. Teoremi ispatlamak için, ABC dik üçgeninin bir ikizkenar üçgen olduğunu varsayalım.

Meydanın kenarı için AS'nin hipotenüsünü alıyoruz ve üç tarafı var. Buna ek olarak, ortaya çıkan karede iki çapraz çizgi çizmek gereklidir. Böylece, içinde dört adet iki köşeli üçgen üçgen elde etmek.

Bacaklara AB ve CB'ye de, meydanda bir çocuğunuz olması ve her birinde bir diyagonal çizgi çizmeniz gerekir. İlk satır köşe A'dan, ikinci satır C'den çizilir.

Şimdi ortaya çıkan çizimi yakından incelemelisiniz. AS'nin hipotenüsünde orijinal üçgene eşit dört üçgen vardır ve bacaklarda ikiyle, bu teoremin gerçeğini gösterir.

Bu arada, Pythagoras teoreminin kanıtının bu yöntemi sayesinde, ünlü cümle ortaya çıktı: "Pisagor pantolonları her yöne eşittir".

G. Garfield'ın kanıtı

James Garfield Amerika Birleşik Devletleri'nin yirminci başkanıdır. Buna ek olarak, tarihin damgasını Amerika Birleşik Devletleri'nin yöneticisi olarak bıraktı, yetenekli bir öğretiydi.

Kariyeri başlangıcında devlet okulunda sıradan bir öğretmen olarak görev yapmaya başladı ancak yakında yüksek öğretim kurumlarından birinin müdürü oldu. Kendini geliştirme arzusu, Pisagor teoreminin kanıtı olarak yeni bir teori önermesine izin verdi. Teoremi ve çözüm örneği şöyledir:

Öncelikle bir sayfaya iki dikdörtgen üçgen çizerek, bir tanesinin kateteri ikinci bir üçgenin devamı olacak şekilde çizmeniz gerekir. Bu üçgenlerin köşeleri birleştirilmelidir, böylece trapezum sonuçta ortaya çıkar.

Bilindiği gibi yamuk alanı, tabanlarının yarı toplamının yüksekliğe çarpımı ile aynıdır.

S = a + b / 2 * (a + b)

Ortaya çıkan yamuğun üç üçgenten oluşan bir şekil olduğunu düşünürsek, alanı aşağıdaki gibi bulunabilir:

S = av / 2 * 2 + s 2/2

Şimdi iki başlangıç ifadesini eşitlemek gerekiyor

2a / 2 + с / 2 = (а + в) 2/2

² = ^2'de + ^2'de

Pisagorların teoremi ve ispat yöntemleri hakkında, eğitim kılavuzunun birden fazla bölümünü yazabilirsiniz. Ancak bu bilgi pratikte uygulanamaz olduğunda herhangi bir anlamı var mı?

Pisagor teoreminin pratik uygulaması

Ne yazık ki modern okul programlarında bu teoremin kullanımı yalnızca geometrik problemlerde öngörülmüştür. Mezunlar yakında okul duvarlarını bilmeden ve bilgi ve becerilerini pratikte nasıl uygulayacaklarını terk edecekler.

Aslında, herkes günlük yaşamlarında Pisagor teoremi kullanabilir. Sadece mesleki işlerde değil aynı zamanda sıradan iç meselelerde de. Pisagor teoremi ve ispat yöntemleri son derece gereklilik gösterdiğinde birkaç dava üzerinde düşünelim.

Teorem ve astronomi arasındaki ilişki

Görünüşe göre, yıldızların ve üçgenlerin kağıda nasıl bağlanabileceği. Aslında, astronomi Pisagor teoremin yaygın olarak kullanıldığı bilimsel bir alandır.

Örneğin, uzaydaki bir ışık demetinin hareketini göz önünde bulundurun. Işık, her iki yönde aynı hızda hareket ettiği bilinmektedir. Işık ışını hareket ettiren AB hareketi l olarak bilinir . Ve ışığın A noktasından B noktasına geçmesi gereken yarısı çağırılır t. Ve kirişin hızı c 'dir . Şu sonuç çıkıyor: c * t = l

Bu ışını başka bir düzlemden, örneğin v hızında hareket eden bir uzay çizgisinden görürsek, o zaman cisimlerin böyle bir gözlemiyle hızları değişecektir. Bu durumda, sabit elemanlar bile hız v ile ters yönde hareket edecektir.

Diyelim ki bir çizgi romörk sağa doğru yüzüyor. Ardından ışının ışınlan attığı noktalar A ve B, soldan hareket edecektir. Işın A noktasından B noktasına hareket ettiğinde A noktası hareket etmeyi başarır ve bu nedenle ışık zaten yeni bir C noktasına ulaşır. A noktasının kaymış olduğu mesafenin yarısını bulmak için, astarın hızı ışının seyahat süresinin yarısı kadar çarpılmalıdır (t ').

D = t '* v

Ve bu arada ne kadar ışık ışınlarının geçebileceğini bulmak için yeni kayın yolunun yarısını belirlemek ve aşağıdaki ifadeyi elde etmek gerekir:

S = c * t '

C ve B ışıklarının ve kozmik astarın, bir ikizkenar üçgeninin köşeleri olduğunu düşünürsek, A noktasından astara kadar olan segment, onu iki dikdörtgen üçgen içine bölecektir. Bu nedenle, Pisagor teoremi sayesinde ışık ışınının geçebileceği mesafeyi bulabilir.

S ² = l ² + d ²

Elbette ki bu örnek en başarılı değildir, çünkü yalnızca birimler bunu pratikte denemek için şanslı olabilirler. Bu nedenle, bu teoremin uygulamasının daha sıradan sürümlerini düşünün.

Mobil sinyal iletimi yarıçapı

Modern yaşam akıllı telefonların varlığı olmadan hayal etmek olanaksızdır. Ancak aboneleri mobil iletişimle bağlayamadıklarında proc işlemlerini yapmak ne kadar olurdu?

Mobil iletişimin kalitesi doğrudan mobil operatörün anteninin yüksekliğine bağlıdır. Mobil kuleden uzaklığı hesaplamak için telefon sinyal alabilir, Pisagor teoremini uygulayabiliriz.

Sabit kulenin yaklaşık yüksekliğini bulmamız gerektiğini varsayalım, böylece sinyal 200 kilometre yarıçap içinde yayılabilir.

AB (kule yüksekliği) = x;

BC (sinyal iletim yarıçapı) = 200 km;

OS (dünyanın yarıçapı) = 6380 km;

Buradan

OB = OA + ABOV = r + x

Pisagor teoremini uygulayarak, kulenin asgari yüksekliğinin 2.3 kilometre olması gerektiğini öğreneceğiz.

Günlük hayatta Pisagor teoremi

İronik olarak, Pisagor teoremi, örneğin dolabın yüksekliğini belirleme gibi günlük meselelerde bile yararlı olabilir. İlk bakışta, bu kadar karmaşık hesaplamaları kullanmaya gerek yoktur, çünkü rulet kullanarak ölçümler alabilirsin. Ancak birçok kişi, bütün ölçümlerin doğru bir şekilde gerçekleştirilmesi halinde montaj sürecinde neden bazı problemlerin olduğunu merak ediyor.

Aslında dolaba yatay bir konumda monte edilir ve daha sonra yükselir ve duvara monte edilir. Bu nedenle, kabinin kaldırılması sırasında kabininin yan duvarının yüksekliği hem de odanın çapraz olarak serbestçe geçmesi gerekir.

Diyelim ki 800 mm derinliğe sahip bir dolap var. Zeminden tavana olan mesafe 2600 mm'dir. Tecrübeli bir mobilya yapıcı, dolabın yüksekliğinin odanın yüksekliğinden 126 mm daha düşük olması gerektiğini söyleyecektir. Ama neden 126 mm'de? Örneği düşünün.

Dolabın ideal boyutları için Pisagor teoreminin etkisini kontrol edelim:

AC = √AB ² + √BC ²

AC = √2474 ² +800 ² = 2600 mm - her şey yakınsamıştır.

Kabinin yüksekliği 2474 mm değil 2505 mm'dir. Sonra:

AC = √2505 ² + √800 ² = 2629 mm.

Bu nedenle, bu dolap bu odada kurulum için uygun değildir. Dikey bir konuma kaldırdığınızda gövdesine zarar verebilirsiniz.

Belki de Pisagor teorisini farklı bilim adamları tarafından ispatlamanın farklı yollarını düşündüğümüzde bunun doğru olduğunu söyleyebiliriz. Artık günlük hayatınızdaki bilgileri kullanabilir ve tüm hesaplamaların yalnızca yararlı olacağından değil, aynı zamanda doğru olduğundan emin olabilirsiniz.