Olasılık teorisi. Bir olayın olasılığı, ara sıra olay (olasılık teorisi). olasılık teorisi Bağımsız ve uyumsuz gelişmeler

Birçok kişi bunu hangi yanlışlıkla bir dereceye kadar olayları saymak mümkündür düşünüyorum olası değildir. Basit bir deyişle söylemek gerekirse, bu gerçekçi bir dahaki sefere düşecek zar içinde küpün hangi tarafta bilmektir. Iki büyük bilim adamı sormak için bu soru bu bilim için bir temel teori koydu olasılık, olasılığını yoğun yeterince çalışılan hangi olay.

nesil

Eğer olasılık teorisi olarak böyle bir kavram tanımlamak için çalışırsak, şu olsun: Bu rastgele olayların sürekliliği inceleyen matematik dallarından biridir. Açıkçası, bu kavram gerçekten özünü açığa vurmaz, böylece daha fazla ayrıntılı olarak dikkate almak gerekir.

Ben teorinin kurucuları ile başlamak istiyorum. Yukarıda belirtildiği gibi, iki bulunduğunu Başına Ferma ve Blez Paskal. Onlar bir olayın sonucunu hesaplamak için formüller ve matematiksel hesaplamalarla teşebbüs birinci oldu. Genel olarak, bu bilimin esasları bile Ortaçağ'da olduğunu. Çeşitli düşünürler ve bilim adamları, böylece kumarhane böyle rulet, barbut gibi oyunlar ve analiz etmeye çalışsak böylece bir model oluşturmak ve bir sayının yüzdesi kaybı için. vakıf da on yedinci yüzyılda atılmıştır yukarıda belirtilen bilim adamları oldu.

Başlangıçta, işlerini bu alanda büyük başarılara isnat edilemedi, sonuçta ne yaptılar, onlar ampirik sayılar ve deneyler formülleri kullanmadan açıkça vardı basitçe idi. Zamanla, kemiklerin döküm gözlem sonucunda ortaya mükemmel sonuçlar elde etmek döndü. Alet ilk belirgin formülü getirmek için yardımcı olmuştur edilmektedir.

destekçileri

Değil "olasılık teorisi" adını taşıyan konuyu okuyan sürecinde Christiaan Huygens gibi bir adam, (olayın olasılığı bu bilimde bunu vurgular) söz. Bu kişi çok ilginç. O, hem de yukarıda sunulan bilim adamları rastgele olayların bir desen anlamak için matematiksel formüller şeklinde yargılanmaktadır. O bütün eserleri bu kafasında ile örtüşmeyen, o Pascal ve Fermat ile paylaşmak vermedi dikkat çekicidir. Huygens türetilmiş olasılık teorisinin temel kavramları.

Ilginç bir gerçektir eseri yirmi yıl önce, tam olarak, öncülerinden çalışmalarının sonuçlarını çok önce gelmiş olmasıydı. Sadece vardı tanımlanan kavramlar arasındaki vardır:

• olasılık değerleri şans kavram olarak;
• ayrık durum için beklenti;
• Ayrıca ve olasılıkları çarpılması teoremi.

Ayrıca, bir de sorunun çalışmaya katkıda Yakoba Bernulli, unutamam. Bağımsız testler şunlardır ne biri, kendi sayesinde, o büyük sayılar yasasının kanıtlamak başardı. Buna karşılık, erken on dokuzuncu yüzyılda çalışmış bilim insanları Poisson ve Laplace, orijinal teoremini ispat başardık. o an gözlemler hataları analiz etmek itibaren biz olasılık teorisini kullanmaya başladı. Bu bilim etrafında Parti yapamadı ve Rus bilim adamları, daha doğrusu Markov, Chebyshev ve Dyapunov. Onlar işin büyük bir dâhi dayanmaktadır, matematik dalı olarak konuyu sağladı. Biz on dokuzuncu yüzyılın sonlarında bu rakamları çalışmış ve katkılarından sayesinde gibi olguları kanıtlanmıştır:

• Büyük sayılar kanunu;
• Markov zincirlerinin teorisi;
• merkez.

Yani, bilimin ve katkısı önemli kişilikleri ile doğum tarihi, her şey daha fazla veya daha az açıktır. Şimdi tüm gerçekleri eti dışarı zamanı.

temel kavramlar

dokunup önce yasa ve teoremleri olasılık teorisinin temel kavramları öğrenmelidir. Olay bu baskın bir rol kaplar. Bu konu oldukça geniş, ama onsuz her şey anlamak mümkün olmayacaktır.

olasılık teorisinde Olay - bu Deneyin sonuçları Herhangi kümesi. Bu fenomenin Kavramlar yeterince yok. Böylece, bu alanda çalışan Lotman bilim adamı, bu durumda biz ne bahsediyoruz olduğunu ifade etti "gerçekleşmesi olmasa da, olmadı."

Rastgele olaylar (olasılık teorisi onlara özel önem veriyor) - meydana imkanı olan kesinlikle herhangi fenomen içeren bir kavramdır. Veya, tam tersine, bu senaryo koşullarında çeşitli performans olamaz. Aynı zamanda sadece rastgele olaylar meydana fenomenlerin tüm hacmini işgal bilerek değer. Olasılık teorisi tüm koşullar sürekli tekrar edilebilir olduğunu göstermektedir. Bu onların davranış "deneyim" ya da adı olmuştur olduğunu "test".

Önemli olay - bu testte yüzde yüz olur bir olgudur. Buna göre, imkansız olay - bu olmaz bir şeydir.

çiftleri Aksiyon (geleneksel durum A ve madde B) bir araya getiren aynı anda meydana gelen bir olaydır. Bunlar AB olarak adlandırılır.

olayların çifti A ve B miktarı, - bunlardan en az biri (A veya B), bir C açıklanan olgu C = A + B olarak yazılır formül alacak, eğer C, diğer bir deyişle, bir

olasılık teorisi Uyumsuz gelişmeler iki durum birbirini dışlayan olduğunu ima eder. Aynı zamanda onlar oluşamaz her durumda bulunmaktadır. olasılık teorisinde Ortak olaylar - bu onların antipodu olduğunu. iması A olduysa, o C engellemez olmasıdır

olay (olasılık teorisi ayrıntılı olarak bunları dikkate alır) karşı çıkan anlaşılması kolaydır. Bu karşılaştırma onlarla uğraşmak en iyisidir. Neredeyse olasılık teorisinde aynı şekilde uyumsuz gelişmelerdir. Bununla birlikte, bunların farkı, her durumda fenomeni çok sayıda biri meydana gerektiğidir.

Eşit muhtemel olaylar - bu eylemler, tekrarlama olasılığı eşittir. Daha açık olmak için, bir madeni para savurma tahmin edebilirsiniz: yanlarından birinin kaybı diğer eşit muhtemel bir kayıptır.

o olayı lehine örneğini dikkate almak daha kolaydır. bir tek sayı gelişine bir kalıbın bir silindir ve ikinci - - zar üzerindeki sayı beş görünümü bölüm A. ilk bir bölüm vardır varsayalım. Sonra bir tercih V. olduğu ortaya çıktı

Bağımsız olaylar olasılık teorisinde sadece iki ya da daha fazla kez yansıtılan ve diğer herhangi bir eylemin bağımsız nedenlerden biridir. Örneğin, A - güverte dostavanie girişine - kaybı kuyrukları para savurma, ve b. Onlar olasılık teorisinde bağımsız olaylar var. Bu andan itibaren o netleşti.

olasılık teorisinde Bağımlı olaylar yalnızca kendi seti için de izin verilebilir. Onlar bir zaten tam tersine, meydana veya ne zaman o zaman bir fenomen olmadı, sadece durumda oluşabilir, yani diğer tarafta birinin bağımlılığı ima - B. başlıca şartı

Tek bir bileşenin oluşan rasgele denemenin sonucunun - bu temel olayları var. Olasılık teorisi sadece bir defa yapılır bir fenomen olduğunu söyler.

temel formül

Böylece, yukarıdaki "olay", "olasılık teorisi" kavramını kabul edildi, bu bilimin anahtar terimlerin tanımları da verildi. Şimdi önemli formüllerle kendisini tanımak için zamanı. Bu ifadeler matematiksel olarak olasılık teorisi gibi zor bir konuda tüm ana kavramları onaylanır. Bir olayın olasılığı ve büyük bir rol oynar.

Daha iyi kombinatorik temel formüller ile başlamak. Bunları başlamadan önce Ve, ne dikkate değer.

Kombinatorik - o kombinasyonları bir dizi yol açan, tamsayılar, vb hem numaraları ve elemanları, çeşitli verilerin, çeşitli permütasyon çok sayıda eğitimini sürdürmektedir öncelikle matematik dalıdır ... Olasılık teorisine ek olarak, bu sanayi istatistikleri, bilgisayar bilimleri ve kriptografi açısından önemlidir.

Yani şimdi kendileri ve tanımı formüllerinin sunumu geçebiliriz.

Bunlardan birincisi aşağıdaki gibi olduğu, permütasyon sayısı için ifadesidir:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = n!

elementler düzenlemenin sırayla sadece farklı olması durumunda Denklem sadece durumda geçerlidir.

Bu dikkate alınacaktır Asistan gibi yerleştirme formülü, görünüşe:

A_n ^ m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : - (N- m)!

Bu ifade siparişi tek elemana değil, aynı zamanda onun bileşimine değil geçerlidir.

Üçüncü kombinatorik denklemi ve kombinasyonların sayısı için formül ikinci olarak adlandırılır:

C = N ^ m = n! : ((N - m))! : M!

Sırasıyla sipariş etmek ve bu kuralı uygulanmaz örnekleme adı Kombinasyon.

kombinatorik formülleri kolayca anlamak için geldi, artık olasılığın klasik tanımı gidebilirsiniz. Aşağıdaki gibi bu ifadenin benziyor:

N: P (A) m-=.

Bu formülde, m, - eşit ve tam olarak bütün temel olay sayısı - etkinlik A için elverişli koşullar sayısı, ve n.

şey kabul ama örneğin etkinlik olasılığını tutarları böyle, gibi en önemli olanları olacaktır etkilenmeyecektir makalede birçok ifadeler vardır:

P (A + B) = P (A) + P (B), - sadece birbirini dışlayan olayları eklemek için bu teoremi;

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) - ama bu uyumlu ilave içindir.

Olay eserlerin olasılık:

P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B) -, bağımsız olaylar için bu teoremi;

(P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (B | A), P (A ⋅ B) = P (A) ⋅ P (A | B)) - ve bu bağımlı için.

olaylar formülü Sona listesi. olasılık teorisi bize teoremini anlatıyor şöyle Bayes:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (k = 1) ^ n P (H_k) P (A | H_k)), m = 1, ..., n

bu formülde, H _{1, H2,} içinde ...,: _n - hipotezlerin bütünüdür.

Bu durakta numuneler formülleri uygulama artık pratikte belirli görevler için dikkate alınacaktır.

örnekler

Eğer dikkatlice matematik herhangi dalını incelemek, bu egzersizler ve örnek çözümleri yok değil. Ve olasılık teorisi: olaylar, burada örnekler bilimsel hesaplamalar teyit ayrılmaz bir bileşenidir.

permütasyon sayısı için formül

Örneğin, bir kart destede Nominal biriyle başlayarak otuz kartları var. Sonraki soru. Kaç bir ve iki bir nominal değeri ile kartları yanında bulunan değildi ki güverte katlamak için yollar?

Şimdi görev en başa geçelim, ayarlanır. Öncelikle yukarıda formül alır bu amaçla otuz elementlerin permütasyon sayısını belirlemek gerekir, bu P_30 = 30 döner!.

Bu kurala dayanarak, pek çok yönden güverte bırakmaya kaç seçenek biliyoruz ama onlardan düşülmelidir birinci ve ikinci kart yanında olacaktır hangi olanlardır. Bunu yapmak için, ilk saniyede bulunan bir varyantı ile başlar. İlk harita yirmi dokuz sıra alabilir çıkıyor - ilk yirmi dokuzuncu etmek ve otuz ikinci gelen ikinci kart, kart çiftleri için yirmi dokuz sandalyeye döner. Buna karşılık, diğerleri yirmi sekiz sandalyeye sahip ve herhangi bir sırada olabilir. Yani yirmi sekiz kartlarının yeniden düzenlenmesi için, yirmisekiz seçenekleri P_28 = 28 var olduğunu!

Sonuç olarak biz kararı göz önüne alırsak, ilk kart ikinci ekstra fırsat açıkken 29 ⋅ 28 almak olmasıdır! = 29!

Aynı yöntemi kullanarak, ilk kart saniyenin altında bulunan durum için gereksiz seçeneklerin sayısını hesaplamak gerekir. Ayrıca 29 ⋅ 28 elde! = 29!

Bundan şu anlaşılıyor ki ekstra seçenekler 2 ⋅ 29!, güverte 30 toplamanın gerekli araçlarla iken! - 2 ⋅ 29!. Bu hesaplamak için sadece kalır.

30! = 29! ⋅ 30; 30-2 ⋅ 29! = 29! = 29 - (2 30) ⋅! ⋅ 28

Şimdi birinden yirmi dokuz birlikte bütün numaraları çarpmak gerekir ve daha sonra 28. ile çarpılır tüm sonundaki cevap 2,4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 elde

Çözeltilerin örnekleri. konaklama sayısı için formül

Bu sorunun, bir rafta onbeş hacimleri koymak yolu vardır kaç bulmak gerekir, ancak koşul altında sadece otuz cilt.

Bu görev, bir önceki günden biraz daha kolay bir karar. Zaten bilinen formülü kullanılarak, otuz yerleri onbeş hacimleri toplam sayısını hesaplamak için gereklidir.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30-15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 727 360 000

Tepki, sırasıyla 202 843 204 931 727 360 000 eşit olacaktır.

Şimdi biraz daha zor bir görev alır. Yalnızca on beş hacimleri aynı rafta bulunan koşulla raflarda otuz iki kitap düzenlemek için yolu vardır kaç bilmek gerekir.

kararın başlamadan önce bazı sorunları çeşitli yollarla çözülebileceğini açıklamak istiyorum ve bu orada iki yolu vardır, ancak her ikisi de bir ve aynı formülü uygulanır.

biz farklı şekillerde onbeş kitaplar için raf doldurabilirsiniz sayısını hesapladık orada çünkü bu görev, bir önceki birinden cevap alabilir. = ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ 30 ... ⋅ 16 - Bu A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (15 + 1 30) döndü.

Bu on beş geri kalanı ise, on beş kitap yerleştirilir, çünkü ikinci alay, formül değişikliği hesaplanmıştır. Biz formülü P_15 = 15 kullanın!.

Bu çıkıyor o A_30 ^ 15 ⋅ P_15 yolu, ancak, ek olarak, onaltı otuz kadar tüm sayıların ürün sonunda otuz birinden diğerine tüm sayıların ürünü söndürmeye, onbeş birinden diğerine sayıların çarpımı ile çarpılır olacağını, bu cevabı olacak toplamı 30'dur!

Ama bu sorun farklı bir şekilde çözülebilir - kolaylaştırır. Bunu yapmak için, otuz kitabına raf olduğunu tahmin edebilirsiniz. Hepsi bu düzlemde kondu, ancak durum uzun bir biz yarısında testereyle iki raflar, iki dönüş onbeş olduğunu gerektirdiğinden. Buradan hareketle bu düzenleme için = 30 P_30 olabilir çıkıyor!.

Çözeltilerin örnekleri. kombinasyonlarının sayısı için formül

Kim kombinatorik üçüncü sorunun varyantı olarak kabul edilir. Sen tam olarak aynı otuz seçmelisiniz koşuluyla onbeş kitapları düzenlemek için kaç yolu bilmek gerekir.

Elbette kombinasyonların sayısı için formülünü uygulayacak karar için. koşulu itibaren aynı onbeş kitapların sırası önemli olmadığı açıkça görüyoruz. Yani başlangıçta otuz on beş kitap toplam kombinasyon sayısını bulmak gerekir.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! : 15! = 155117520

Hepsi bu. mümkün olan en kısa süre içinde, bu formülün kullanılması böyle bir sorun, 155,117,520 eşit sırasıyla cevap, çözmek için.

Çözeltilerin örnekleri. olasılık klasik tanımı

Yukarıda verilen formülü kullanarak, tek basit bir görev olarak bir cevap bulabilirsiniz. Ama net görmek ve eylem seyrini takip edecek.

Görev bir kavanoza on tamamen özdeş topları orada verilen. Bunlardan, sarı dört ve altı mavi. urn bir top 'dan alınmıştır. Mavi dostavaniya olasılığını bilmek gereklidir.

sorunu çözmek için onu Bu deneyim on sonuçları olabileceğini dostavanie mavi top olay A. belirlemek için gerekli olan, sırayla, ilk ve eşit olasılıkla. Aynı zamanda, on altı olay A. aşağıdaki formül çözün için elverişli:

P (A) = 6: 10 = 0.6

Bu formülü uygulayarak, mavi top dostavaniya olasılık 0.6 olduğunu öğrendik.

Çözeltilerin örnekleri. olaylar miktarın olasılık

Kim etkinlik miktarının olasılık aşağıdaki formül kullanılarak çözülmektedir bir varyant olacaktır. Sekiz gri ve dört beyaz topları - Yani, iki vaka olduğunu koşul göz önüne alındığında, ilki ise ikinci gri ve beş beyaz topları olduğunu. Sonuç olarak, birinci ve ikinci kutuları onlardan birinde almış. Topları gri ve beyaz yoksun şansı ne olduğunu bulmak için gereklidir.

Bu sorunu çözmek için, olayı tanımlamak için gereklidir.

• P (A) = 1/6: - Bu durumda, bir bir gri birinci kutunun topu var.
• A '- birinci kutu alınan beyaz bir ampul: P (A') '5/6 =.
• - ikinci borunun daha önce ekstre gray ball: P (B) 2/3 =.
• ': - (= 1/3 B P B) gri bir ikinci çekmece topu aldı.'

AB 'veya' B: sorununa göre, fenomenlerinden biri oldu gereklidir formülü kullanılarak, elde edilir: P (ab ') 1/18, P (A'B) = 10/18 =.

Şimdi olasılığını çarpımının formülü kullanıldı. Daha sonra, cevap bulmak için, Eklemekte onların denklemi uygulamak gerekir:

P = P (AB '+ A'B) = P (ab') + P (A'B) = 11/18.

Yani, formül kullanılarak, bu tür sorunları çözebilir nasıl.

sonuç

Kağıt "olasılık teorisi", önemli bir rol oynamaktadır olayların olasılık hakkında bilgi sunuldu. Tabii ki, her şey düşünülmüştür, ancak sunulan metnin temelinde, teorik matematik bu şube ile tanışırız. Dikkate bilim profesyonel iş değil, aynı zamanda günlük yaşamda sadece yararlı olabilir. Sen bir olayın olasılığını hesaplamak için kullanabilirsiniz.

metin de önemli bir bilim olarak olasılık teorisinin gelişimi tarihinin tarihleri ve eserleri içine konmuş kişilerin adlarının etkilenmiştir. Yani insanlar, hatta rasgele olayları saymak öğrendim gerçeğine yol açmıştır nasıl insan merakı var. Bir kez bu sadece ilgilenen, ama bugün zaten tüm bilinmektedir. Ve hiç kimse, diğer parlak buluşlar göz altında teorisine ilişkin ne kararlı olduğunu, ileride bize ne olacağını söyleyebiliriz. Ama bir şey kesin - Çalışma hala değmez!