Doğrusal denklem sistemlerini (SLAE) çözmek için basit yineleme yöntemi

Basit yineleme yöntemi, ardışık yaklaşım yöntemi olarak da adlandırılır; kademeli arıtma ile bilinmeyen bir nicelik değerini bulmak için matematiksel bir algoritma kullanılır. Bu yöntemin özü, adından da anlaşılacağı üzere, başlangıçtaki yaklaşımdan yavaş yavaş gelişen ve sonraki yaklaşımların kademeli olarak daha rafine sonuçları almasıdır. Bu yöntem, bir doğrusal ve doğrusal olmayan denklem sistemlerinin çözülmesinin yanı sıra belirli bir işlevdeki bir değişkenin değerini bulmak için kullanılır.

Bu yöntemin SLAE'yi çözmede nasıl uygulandığını düşünelim. Basit yineleme yöntemi aşağıdaki algoritmaya sahiptir:

1. Özgün matriste yakınsama koşulunun yerine getirilip getirilmediğinin doğrulanması. Yakınsaklık teoremi: eğer sistemin başlangıç matrisi bir diyagonal üstünlüğe sahipse (yani, ana diyagonalin elemanları modülde yan çaprazların modulo elemanlarının toplamından daha büyük olmalıdır) basit yineleme yöntemi yakınsaktır.

2. Orijinal sistemin matrisi her zaman çapraz bir üstünlüğe sahip değildir. Bu gibi durumlarda sistem dönüştürülebilir. Yakınsama koşulunu sağlayan denklemlere dokunulmadan bırakılır ve tatmin edici olmayan doğrusal kombinasyonlar oluşturur; Çarpma, çıkarma, istenen sonuç elde edilene kadar denklemleri birbirine ekleyin.

Ortaya çıkan sistemde ana diyagonal üzerinde uygun olmayan katsayılar varsa, o zaman böyle bir denklemin her iki bölümünde de _i * x _i formlarının terimlerini ekler ve işaretler diyagonal elemanların işaretleri ile çakışmalıdır.

3. Elde edilen sistemin normal forma dönüşmesi:

X ^- = β ^- + α * x ^-

Bu, çeşitli şekillerde yapılabilir, örneğin: birinci denklemden, x ₁ ile diğer bilinmeyenler arasında, ikinci x _2'den , üçüncü x _3'den vb. Aşağıdaki formülleri kullanıyoruz:

Α _ij = - (a _ij / a _ii)

_Ben = b _i / a _ii
Ortaya çıkan normal formun, yakınsama şartına karşılık geldiğini doğrulamak yine gereklidir:

Σ (j = 1) | α _ij | ≤ 1, i = 1,2, ... n

Aslında, ardışık yaklaşım yöntemini uygulamaya başlıyoruz.

Başlangıç yaklaşımı X ^{( 0) '} dır, x ^{( 1)' i} ifade ederiz, x ^{( 2) 'yi} x ^{( t ) ile} ifade ederiz. Matris formundaki genel formül şöyledir:

x ^(N) = β ^- + α * x ^(n-1)

Gerekli doğruluğu elde edene kadar hesaplıyoruz:

Max | x _i (k) -x _i (k + 1) ≤ ε

Yani, pratikte basit iterasyon yöntemini analiz edelim. örnek:
SLAU'ya karar verin:

4.5x1-1.7x2 + 3.5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4 doğruluk ε = 10 ^{-3 ile}

Diyagonal unsurların modülde baskın olup olmadığını görelim.

Görüyoruz ki sadece üçüncü eşitlik yakınsaklık koşulunu sağlıyor. Birinci ve ikinci dönüşümümüzde, birinci denklemde ikinciyi ekliyoruz:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3

Üçüncüsünden birinci çıkarıyoruz:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Orijinal sistemi eşdeğer bir sisteme dönüştürdük:

7.6x1 + 0.6x2 + 2.4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1.8x1 + 2.5x2 + 4.7x3 = 4

Şimdi sistemi normal bir forma getiriyoruz:

X1 = 0.3947-0.0789x2-0.3158x3
X2 = 0.4762 + 0.6429x1-0.2857x3
X3 = 0.8511-0.383x1-0.5319x2

Tekrarlayan sürecin yakınsamasını kontrol ediyoruz:

0.0789 + 0.3158 = 0.3947 ≤ 1
0.6429 + 0.2857 = 0.9286 ≤ 1
0.383 + 0.5319 = 0.9149 ≤ 1, yani. Durum tatmin oldu.

0,3947
İlk yaklaşım x ^{( 0)} = 0.4762
0,8511

Bu değerleri normal formun denklemine koyarız, aşağıdaki değerleri elde ederiz:

0,08835
X ⁽¹⁾ = 0.486793
0.446639

Yeni değerler koyarak şunu elde ederiz:

0.215243
X ⁽²⁾ = 0.405396
0.558336

Verilen koşulu karşılayan değerlere yaklaştığımıza kadar hesaplamaya devam edin.

0,18813

X ⁽⁷⁾ = 0.441091

0.544319

0.188002

X ⁽⁸⁾ = 0.44164

0.544428

Sonuçların doğruluğunu kontrol edelim:

4.5 * 0.1880 -1.7 * 0.441 + 3.5 * 0.544 = 2.0003
3.1 * 0.1880 + 2.3 * 0.441-1.1x * 0.544 = 0.9987
1.8 * 0.1880 + 2.5 * 0.441 + 4.7 * 0.544 = 3.9977

Başlangıç denklemlerinde bulunan değerlerin yerini alan sonuçlar, denklemin koşullarını tamamen yerine getirir.

Gördüğümüz gibi, basit yineleme yöntemi oldukça doğru sonuçlar verir, ancak bu denklemi çözmek için çok zaman harcamak ve bir sürü hantal hesaplamalar yapmak zorundaydık.